一种具有较大围长的正则LDPC码构造方法

　

概要：造了正则LDPC码，在构造过程中讨论了设计围长的参数选举，使得满足一定的条件就可以避免校验矩阵的小围长出现，使得所构造的矩阵具有较大围长。1．LDPC码的构造理论考虑长为16的(2，4)正则LDPC码对应的Tanner，如图1所示。从图1中很显然可以看出，该Tanner中环的最小长度为8，因此对应LDPC码的围长也为8。按图1将其中的变量结点和校验结点依次编号，可以得到对应LDPC码的校验矩阵，如图2所示。图2矩阵很有规律，可以看作是由两个行重为2、维数为8×8的循环方阵拼接而成。因此可以猜想，采用某些有规律的矩阵合并成校验矩阵，这样生成的LDPC码很可能会具有较大的围长。或者说，将LDPC码的校验矩阵分裂为若干个子矩阵，然后每个子矩阵再按照某种规律构造，就有可能避免小环的出现。这里采用矩阵分裂的思想。设要构造一个长为72(n=ρUU∈N)的(λ，ρ)正则LDPC码，将该码的校验矩阵分裂为(λ，ρ)个U×U的子矩阵。式中：每个子矩阵Hi,j=I(ai,j)(0≤i<λ，0≤j<ρ)均为一个单位阵或者单位阵的循环移位ai,j表示该单位阵的各行循环右移的位数。显然，这样构造的校验矩阵也不可能为满秩，至多为λρ-λ-1。为便于描述，用A=(ai,j)表示由各个子方阵的循环移位参

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　　1962年Gallager提出低密度校验(Low DensityParity Check，LDPC)码，后来Tanner对它进行了很有价值的补充，直到1995年又被Mackey重新提出。如果采用和积迭代译码算法，LDPC码具有非常接近香农限的性能。如果在LDPC码的Tanner图中存在环，在迭代译码的过程中错误信息将会膨胀，对于LDPC的译码性能相当有害，尤其是较短环的存在，所产生的危害尤为严重。所以，在构造LDPC的过程当中，要尽量避免短环的出现。为了尽量减小Tanner图中环的存在对相应LDPC码在和积译码算法下所得性能的影响，一些研究学者基于代数方法和启发式搜索方法，提出了一些具有较大围长的LDPC码构造方法。研究表明，通过增大LDPC码的围长，在一定程度上可以改善码的纠错性能。本文构造了正则LDPC码，在构造过程中讨论了设计围长的参数选举，使得满足一定的条件就可以避免校验矩阵的小围长出现，使得所构造的矩阵具有较大围长。

　　1．LDPC码的构造理论

　　考虑长为16的(2，4)正则LDPC码对应的Tanner，如图1所示。

　　从图1中很显然可以看出，该Tanner中环的最小长度为8，因此对应LDPC码的围长也为8。

　　按图1将其中的变量结点和校验结点依次编号，可以得到对应LDPC码的校验矩阵，如图2所示。

　　图2矩阵很有规律，可以看作是由两个行重为2、维数为8×8的循环方阵拼接而成。因此可以猜想，采用某些有规律的矩阵合并成校验矩阵，这样生成的LDPC码很可能会具有较大的围长。或者说，将LDPC码的校验矩阵分裂为若干个子矩阵，然后每个子矩阵再按照某种规律构造，就有可能避免小环的出现。

　　这里采用矩阵分裂的思想。设要构造一个长为72(n=ρUU∈N)的(λ，ρ)正则LDPC码，将该码的校验矩阵分裂为(λ，ρ)个U×U的子矩阵。

　　式中：每个子矩阵Hi,j=I(ai,j)(0≤i<λ，0≤j<ρ)均为一个单位阵或者单位阵的循环移位ai,j表示该单位阵的各行循环右移的位数。显然，这样构造的校验矩阵也不可能为满秩，至多为λρ-λ-1。

　　为便于描述，用A=(ai,j)表示由各个子方阵的循环移位参数组成的矩阵，用(I，J，i，j)表示校验矩阵中的元素，其中(I，J)为该元素所属的子矩阵的坐标，(i，j)为该元素在它所属的子矩阵中的坐标。称Tanner图中每个变量结点参与的所有环的最小长度为该变量结点的环长，则显然相应LDPC码的围长就等于各个变量结点环长的最小值。将n个变量结点分为P组，每一组变量结点对应一列子矩阵，则考虑到各个子矩阵的循环特性，有如下定理成立。

　　定理1  属于同组的变量结点具有相同的环长。

　　证明：设任意两个同组的变量结点x和y，分别对应一列子矩阵的第x列和第y列，且y-x=dmodU，其环长分别为C(x)和C(y)，并设变量结点x的最小环路径如图3所示。

　　根据各个子矩阵的循环特性，可以找到另一个环的路径如图4所示。

　　显然该环路长度为C(x)且经过变量节点y，故有：

　　C(x)≥C(y)    (2)

　　同理可得：

　　C(x)≤C(y)    (3)

　　综合上面两式，有C(x)=C(y)即对任意两个同组的变量节点，它们的环长均相等，证毕。

　　由定理1可知，按照上述方法构造的校验矩阵所对应的LDPC码，所有变量节点的环长至多有ρ种情况，因此对这样构造的矩阵只需要分别从各组中抽取一个变量节点，然后只对这ρ个变量节点进行检测，即可确定整个码的围长。

　　2校验矩阵中循环移位参数的选取

　　下面讨论4环的情况。如果一个LDPC码含有4环，则它所对应的校验矩阵中必然有4个“1”处于某个矩形的四个顶点，该环路路径可表示为：

　　定理2  按照式(1)所示矩阵分裂方法构造的矩阵所对应的LDPC码不含长为4的环的充要条件有式(6)成立：

　　该定理的正确性从前面的描述中即可得知，这里不再赘述。

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